Méthodes Variationnelles en Mécanique

Quiberon 8-13 sept. 2025

14^ème école d'été de mécanique théorique à destination des doctorants et chercheurs en Mécanique

Intitulés et résumés des cours

Anthony Gravouil
Une introduction aux intégrateurs variationnels en mécanique.
Une introduction aux intégrateurs variationnels en mécanique.

mots clés: intégrateurs géométriques numériques, principes variationnels discrets, préservation de la structure discrète d’un système dynamique, structures symplectiques, structures multi-symplectiques, structures de Dirac, système dynamique discret, équations de conservations discrètes, symétries, mécanique de Lagrange et Hamiltonienne discrète
1. Introduction aux intégrateurs conventionnels et géométriques.
2. Géométrie et systèmes dynamiques.
3. Méthodes de préservation de la structure du système dynamique.
4. Etat de l’art par les applications.
5. Application à l’élastodynamique non-régulière.
6. Cas des intégrateurs hétérogènes asynchrones.
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Aziz Hamdouni et Dina Razafindralandy
Principes variationnels en mécanique et lois de conservations.
Principes variationnels en mécanique et lois de conservations.

mots clés: Mécanique analytique pour un système discret, équations de Lagrange, formulation hamiltonienne, principe variationnel d’Euler-Lagrange, espace des jets, applications en mécanique des milieux continus, principe variationnels d’Euler-Poincaré, applications à la mécanique des fluides et poutres de Coserat, Actions Lagrangiennes invariantes par l’action d’un groupe de Lie, théorèmes de Noether et lois de conservation, intégrateurs géométriques
1. Mécanique analytique
2. Calcul des variations au sens d’Euler-Lagrange en dimension finie
3. Formulation lagrangienne
4. Tenseur d’impulsion énergie
5. Formulation hamiltonienne
6. Action transitive d’un groupe de Lie sur l’espace des confogurations est calcul des variations au sens d’Euler-Poincaré
  - Introduction à travers l’exemple du mouvement d’un solide rigide autour d’un point fixe
  - Formulation générale
  - Exemple d’applications
7. Introduction aux espaces des jets et équations aux dérivées partielles
8. Principe variationnel pour les équations aux dérivées partielles
  - Calcul des variations dans les espaces des jets
  - Différents exemples en mécanique
9. Actions lagrangiennes invariantes par un pseudo-groupe de Lie
10. Théorème de Noether et lois de conservations
11. Calcul effectif des lois de conservations
12. Extension aux problèmes non variationnels
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Boris Kolev
Éléments de géométrie différentielle et introduction au calcul variationnel en mécanique des milieux continus, en relativité générale et en théorie de Jauge.
Éléments de géométrie différentielle et introduction au calcul variationnel en mécanique des milieux continus, en relativité générale et en théorie de jauge.

mots clés: Géométrie différentielle, MMC variationnelle, Relativité variationnelle, théorie de jauge
1. Variétés différentielles et espaces tangents.
2. Fibrés vectoriels.
3. Pull-back, push-forward et dérivée de Lie.
4. Formes différentielles.
5. Dérivées covariantes.
6. Groupes et algèbres de Lie.
7. Quelques notions sur les fibrés principaux
8. Calcul variationnel en MMC
9. Relativité variationnelle et principes varitionnels en théorie de jauge.
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Vladimir Salnikov
Géométrie « supérieure » et « généralisée » en mécanique, formulation variationnelle et ses conséquences.

Géométrie « supérieure » et « généralisée » en mécanique, formulation variationnelle et ses conséquences.

mots clés: systèmes avec les contraintes (liaisons), doubles fibrés, structures de Dirac

Programme:
Dans ce mini-cours je vais continuer la description des structures géométriques qui apparaissent naturellement dans l’étude des systèmes mécaniques. On va se baser sur les notions introduites dans le cours de Boris Kolev (variétés, fibrés, formes différentielles, …) pour passer aux résultats contemporains de “géométrisation de la mécanique’’ qui utilisent les combinaisons et les généralisations de ces notions. Je vais en particulier parler des résultats de l’école Polonaise (Tulczyjew, Grabowski) sur les doubles fibrés et les approches de l’école de Marsden utilisant les structures de Dirac. Les doubles fibrés permettent entre autres d’unifier les approches Lagrangiennes et Hamiltoniennes (cf. le cours de Dina Razafindralandy et Aziz Hamdouni). Les structures de Dirac sont les sous-fibrés de la somme directe de fibrés tangent et cotangent d’une variété, avec certaines propriétés. Leur cadre permet de donner une description unifiée entre autres de la géométrie symplectique et de Poisson. Tout cela s’applique évidemment aux problèmes concrets de la mécanique. On va faire un rappel des situations où les structures de Dirac apparaissent naturellement, en particulier les systèmes avec les contraints et (si le temps le permet) les systèmes dissipatifs ou couplés. Ensuite on va adresser la question de la formulation variationnelle de la dynamique sur les structures de Dirac. Les obstructions à cette formulation peuvent être caractérisées par une classe de cohomologie horizontale des algebroïdes de Lie. Une telle formulation variationelle implique la possibilité de construction des intégrateurs géométriques, notamment la construction des schémas numériques (variationnels, cf. le cours d’Anthony Gravouil) qui préservent les propriétés physiques du système “encodées” par la structure de Dirac – on va la survoler rapidement. Je vais terminer avec quelques directions ouvertes dans ce contexte.
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Prérequis

- Notions de base en algèbre linéaire et en calcul différentiel.
Les cours seront conçus de façon à ce que la mise à niveau préliminaire ne soit pas nécessaire. Ils seront ajustés au niveau des connaissances réelles des stagiaires. Les notions mathématiques avancées seront introduites au fur et à mesure des besoins.

Programme

L'arrivée des participants est prévu dimanche le 7 septembre vers le cocktail de bienvenue et le dîner. Le dernier cours aura lieu samedi le 13 septembre avant le déjeuner.

Lundi 8 sept. 2025 09h00-10h30 : Aziz Hamdouni 10h45-12h15 : Aziz Hamdouni 12h15 : Déjeuner 16h00-17h30 : Boris Kolev 17h45-19h15 : Boris Kolev	Jeudi 11 sept. 2025 09h00-10h30 : Dina Razafindralandy 10h45-12h15 : Aziz Hamdouni 12h15 : Déjeuner 16h00-17h30 : Vladimir Salnikov 17h45-19h15 : Vladimir Salnikov
Mardi 9 sept. 2025 09h00-10h30 : Anthony Gravouil 10h45-12h15 : Boris Kolev 12h15 : Déjeuner 16h00-17h30 : Vladimir Salnikov 17h45-19h15 : Vladimir Salnikov	Vendredi 12 sept. 2025 09h00-10h30 : Boris Kolev 10h45-12h15 : Boris Kolev 12h15 : Déjeuner 16h00-17h30 : Anthony Gravouil 17h45-19h15 : Anthony Gravouil
Mercredi 10 sept. 2025 09h00-10h30 : Boris Kolev 10h45-12h15 : Dina Razafindralandy 12h15 : Déjeuner	Samedi 13 sept. 2025 08h30-10h00 : Anthony Gravouil 10h15-11h45 : Aziz Hamdouni 11h45 : Déjeuner