Géométrie « supérieure » et « généralisée » en
mécanique, formulation variationnelle et ses conséquences.
mots clés: systèmes avec les contraintes (liaisons),
doubles fibrés, structures de Dirac
Programme:
Dans ce mini-cours je vais continuer la description des structures
géométriques qui apparaissent naturellement dans l’étude des systèmes
mécaniques. On va se baser sur les notions introduites dans le cours de
Boris Kolev (variétés, fibrés, formes différentielles, …) pour passer
aux résultats contemporains de “géométrisation de la mécanique’’ qui
utilisent les combinaisons et les généralisations de ces notions. Je
vais en particulier parler des résultats de l’école Polonaise
(Tulczyjew, Grabowski) sur les doubles fibrés et les approches de
l’école de Marsden utilisant les structures de Dirac. Les doubles fibrés
permettent entre autres d’unifier les approches Lagrangiennes et
Hamiltoniennes (cf. le cours de Dina Razafindralandy et Aziz Hamdouni).
Les structures de Dirac sont les sous-fibrés de la somme directe de
fibrés tangent et cotangent d’une variété, avec certaines propriétés.
Leur cadre permet de donner une description unifiée entre autres de la
géométrie symplectique et de Poisson. Tout cela s’applique évidemment
aux problèmes concrets de la mécanique. On va faire un rappel des
situations où les structures de Dirac apparaissent naturellement, en
particulier les systèmes avec les contraints et (si le temps le permet)
les systèmes dissipatifs ou couplés. Ensuite on va adresser la question
de la formulation variationnelle de la dynamique sur les structures de
Dirac. Les obstructions à cette formulation peuvent être caractérisées
par une classe de cohomologie horizontale des algebroïdes de Lie. Une
telle formulation variationelle implique la possibilité de construction
des intégrateurs géométriques, notamment la construction des schémas
numériques (variationnels, cf. le cours d’Anthony Gravouil) qui
préservent les propriétés physiques du système “encodées” par la
structure de Dirac – on va la survoler rapidement. Je vais terminer avec
quelques directions ouvertes dans ce contexte.
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