Méthodes Variationnelles en Mécanique
Quiberon
8-13 sept. 2025
14ème école d'été de mécanique théorique à destination des doctorants et chercheurs en Mécanique
Édition 2025: Méthodes Variationnelles en Mécanique
De nombreux problèmes de mécanique ont une structure variationnelle au sens où les solutions des équations qui les régissent correspondent aux extrémales d’une action lagrangienne. Cette structure induit des propriétés importantes. Par exemple les lois de conservation peuvent être vues comme une conséquence de l’invariance de l’action lagrangienne par des transformations continues (groupe de Lie). Il s’agit du fameux théorème d’Emmy Noether. L’écriture dans un cadre variationnel des problèmes dissipatifs est un problème très actif, encore ouvert, pour l'essentiel. La structure variationnelle a aussi des conséquences dans la construction de schémas numériques physiquement consistants. Ce sont les intégrateurs dits variationnels, qui donnent lieu à des travaux très prometteurs en mécanique numérique. Plus récemment, les méthodes variationnelles ont été utilisées dans les approches d’une intelligence artificielle physiquement informée.
On peut faire remonter la formulation variationnelle de la mécanique à Maupertuis et Euler, puis Lagrange, Laplace, Hamilton, et de nombreux auteurs plus récents, notamment Noether avec son théorème fondamental reliant l’invariance de l’action lagrangienne aux lois de conservation, puis Souriau avec son exégèse des travaux de Lagrange et sa relativité variationnelle. On pourra également remarquer l’importance de ces méthodes dans le cadre de la physique des hautes énergies, de la mécanique quantique et de la théorie des champs à travers les théories de jauge qui reposent également sur des formulations variationelles. Cette thématique n’a cessé depuis d’être un sujet de recherche actif en mathématique et en physique théorique même si malheureusement elle est aujourd’hui très peu présente dans la communauté des sciences de l’ingénieur. On pourra également évoquer l’importance de cette thématique du point de vue de l’analyse : elle permet de rechercher les solutions d’équations aux dérivées partielles de la mécanique, et notamment dans les problèmes d’élasticité, comme des minima de fonctionnelles. Le but de cette école d’été est d’amener un éclairage sur des problèmes fondamentaux de la mécanique grâce aux méthodes variationnelles, en insistant sur les aspects géométriques de la théorie plutôt que le point de vue de l’analyse, déjà abordé dans une école d’été antérieure. On introduira les bases du calcul variationnel, de la théorie des jets, des équations d’Euler-Lagrange, des théorèmes de Noether, aussi bien en dimension finie (systèmes discrets, mécanique des systèmes de solides rigides) qu’en dimension infinie (mécanique des milieux continus, relativité variationnelle). On introduira le tenseur d’énergie impulsion de Noether, le tenseur d’Eshelby et la conservation des forces configurationnelles. Ce sera aussi l’occasion de donner un aperçu sur le lien entre la relativité générale et la mécanique des milieux continus – il s’agit de la formulation 4D de la mécanique des milieux continus. Cela permet d’aborder le problème de la covariance générale du Lagrangien (en relativité générale) et celui de l’objectivité ou indifférence matérielle (en mécanique classique). Nous donnerons aussi quelques pistes sur les travaux traitant des formulations variationnelles des problèmes dissipatifs. Et enfin, nous présenterons des méthodes de discrétisation des problèmes variationnels via les schémas, dits intégrateurs variationnels.
Les éditions précédentes
Le principe de l'organisation de cette série d'écoles d'été de mécanique théorique est né du constat d'une certaine désaffection de la communauté mécanicienne française vis-à-vis des fondements de sa discipline. Ce mouvement est sans doute en partie une conséquence des retombées spectaculaires des progrès de la mécanique dans les domaines technologiques. Il en a résulté un souci légitime de la communauté mécanicienne de produire un savoir-faire immédiatement utilisable par la société en vue du progrès technologique. Il nous semble cependant vital de rappeler que les progrès des fondements de la mécanique sont tout aussi importants que l'accompagnement de ses applications immédiates, et que ce sont les progrès fondamentaux d'aujourd'hui qui font les retombées technologiques de demain. Nous considérons également comme essentiel que toute formation dans le domaine de la Mécanique comprenne une sensibilisation aux aspects théoriques qui en font un champ de connaissance vivant étendant sans cesse son champ d'application.
Pour remettre la mécanique fondamentale à l'honneur, nous nous proposons d'organiser à intervalles réguliers des écoles concernant chacune un thème de mécanique théorique dont au moins une connaissance élémentaire nous paraît indispensable à tout mécanicien professionnel. Les thèmes retenus pour les treize premières écoles de mécanique théorique ont été :
- Méthodes Asymptotiques en Mécanique
- Milieux Continus Généralisés
- Analyse Variationnelle et Microstructuration
- Instabilités et Bifurcation en Mécanique
- Méthodes Géométriques en Mécanique
- Analyse Spectrale en Mécanique
- Thermodynamique des Processus Irréversibles
- Théorie du contrôle en mécanique
- Méthodes Probabilistes et Stochastiques en Mécanique
- Géométrie Différentielle en Mécanique
- Champs de Phases en Mécanique
- Approches théoriques pour les métamatériaux
- Problèmes Inverses en Mécanique
Cette manifestation est subventionnée par le CNRS au titre des écoles thématiques, ainsi que par l'AUM-AFM.
